Synolo

Σύνολο

Η έννοια του συνόλου (Set) στα μαθηματικά είναι θεμελιακή. Στα σύγχρονα μαθηματικά η θεωρία συνόλων θεωρείται μαζί με τη λογική ως τα θεμέλια όλων των μαθηματικών αφού όλες οι μαθηματικές προτάσεις μπορούν να αναχθούν στην θεωρία συνόλων. Η ίδια η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική. Δεν μπορεί να αναχθεί σε απλούστερες έννοιες, δηλαδή η έννοια του συνόλου δεν μπορεί να οριστεί με βάση κάποια άλλη απλούστερη έννοια.

Ορισμός

Παρακάτω αν και δίνονται κάποιοι ορισμοί της έννοιας του συνόλου, αυτοί δεν αποτελούν ορισμούς με βάση την αυστηρή σημασία της λέξης, όπως χρησιμοποιείται στα μαθηματικά.

Σύνολο στα μαθηματικά είναι μία συλλογή αντικειμένων οποιασδήποτε φύσης, που είναι διαφορετικά μεταξύ τους, καλά ορισμένα και τα οποία θεωρούνται συλλήβδην. Είθισται να συμβολίζουμε τα σύνολα, με κάποιο κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτου. Στο Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ο Georg Cantor δίνει τον παρακάτω ορισμό της έννοιας του συνόλου:

Σύνολο ονομάζουμε οποιαδήποτε συλλογή σε ολότητα, οριστικών και διακεκριμένων αντικειμένων της διαίσθησης ή της σχέψης μας

Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία του συνόλου και μπορούν να είναι οτιδήποτε, από αριθμούς μέχρι ανθρώπους ή γράμματα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο λοιπόν αποτελείται από στοιχεία. Αν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Χ τότε λέμε ότι στο στοιχείο x περιέχεται στο σύνολο Χ ή ότι το σύνολο Χ περιέχει το στοιχείο x ή ακόμα ότι το στοιχείο x είναι μέλος του συνόλου Χ. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό αν το x ανήκει το Χ και το συμβολισμό αν το x δεν ανήκει στο Χ.

Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία. Αυτό το σύνολο ονομάζεται το κενό σύνολο και συμβολίζεται με {} ή με . Η ύπαρξη αυτού του συνόλου αποτελεί ένα από τα αξιώματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο.

Ισότητα συνόλων

Βασική ιδιότητα των συνόλων γενικά, η οποία είναι απόρροια του παραπάνω ορισμού είναι το γεγονός ότι ένα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του, δηλαδή ότι αν τα σύνολα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία τότε είναι ίσα.

A = B αν και μόνο αν

Επιπλέον των παραπάνω απαιτούμε από τα στοιχεία ενός συνόλου να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, το οποίο σημαίνει ότι ένα σύνολο δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μια φορές ένα στοιχείο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου καλείται πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος του συνόλου (συμβολίζεται συνήθως με Ν ή με #). Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ανάλογα με το αν ο πληθικός τους αριθμός είναι πεπερασμένος ή άπειρος.

Πώς περιγράφουμε σύνολα

Για να περιγράψουμε ένα σύνολο συνήθως χρησιμοποιούμε δύο άγκιστρα «{» και «}» ανάμεσα στα οποία γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου. Για παράδειγμα το σύνολο που περιέχει τους αριθμούς 1, 3 και 5 γράφεται ως εξής: {1,3,5}. Η σειρά με την οποία αναγράφονται τα στοιχεία ενός συνόλου δεν έχει κανένα ρόλο. Ένας δεύτερος τρόπος περιγραφής ενός συνόλου είναι να δώσουμε μια ιδιότητα και να απαιτούμε να ανήκουν στο σύνολο τα στοιχεία που ικανοποιούν την ιδιότητα και μόνο αυτά. Για παράδειγμα το σύνολο των μη αρνητικών άρτιων ακεραίων γράφεται ως εξής: {2κ | κ ∈ Z+0}.

Υποσύνολα

Κύριο άρθρο: Υποσύνολο

Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με , εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

Παραδείγματα:

* το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων

Αναφέρουμε ότι: το κενό σύνολο \emptyset είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

* για κάθε σύνολο Α

Αν το σύνολο Χ είναι υποσύνολο του Υ αλλά Χ Υ, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Υ το οποίο να μην ανήκει στο Χ, τότε λέμε ότι το σύνολο Χ είναι γνήσιο υποσύνολο του Υ και το συμβολίζουμε με ή με .

Σημαντικά σύνολα

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονομάτα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

* , το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.