Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.

Oι πιθανότητες ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες P(E) ανατίθενται στα γεγονότα E. Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η τυχαία μεταβλητή και η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Κλασική πιθανότητα

Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος.

Βασικές έννοιες

* Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με .

* Δειγματοχώρος , είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο ισχύει .

* Γεγονός , είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του , ,. To , είναι το ίδιο ένα γεγονός και ονομαζεται βέβαιο γεγονός.

Παράδειγμα

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχοyμε έξι απλά ενδεχόμενα. Έστω το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα . Ο δειγματοχώρος ειναι ο ή για λόγους απλότητας . Το γεγονός , να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) . Το γεγονός , να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι .

Ορισμός

Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

Παράδειγμα

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

Μέτρο πιθανότητας

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροβ (Andrey Kolmogorov).

Ορισμός

Έστω ένα σύνολο Ω και μία σ-άλγεβρά του . Πιθανότητα , ονομάζεται η συνάρτηση που ικανοποιεί:

1.

2. ,

3.

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον με την ιδιότητα .

Αν στην πιθανότητα P\, αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τοτέ η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

Ιδιότητες

*

*

* .

Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός E συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός F είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F η οποία ορίζεται, μόνο αν το F δεν είναι αδύνατο γεγονός (P(F) > 0), ως:

.

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του E, τότε τα E και F είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει .

H δεσμευμένη πιθανότητα ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον , όπου , αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License