Στα μαθηματικά, οι πραγματικοί αριθμοί ορίζονται διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται ευθεία των πραγματικών αριθμών ή πραγματικός άξονας. Ο όρος "πραγματικός αριθμός" πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "φανταστικούς αριθμούς". Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της πραγματικής ανάλυσης.

Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε ρητούς αριθμούς (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και σε άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφραστούν επακριβώς ως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.

Κάθε "φυσικό μέγεθος" που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως με έναν πραγματικό αριθμό. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με

Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών

Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο R το οποίο ικανοποιά τα παρακάτω τρία αξιώματα:

* Το σύνολο R αποτελεί σώμα. Αναλυτικά:

o Για όλα τα x, y, και z στο R, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.

o Για όλα τα x και y στο R, x + y = y + x και xy = yx.

o Για όλα τα x, y, και z στο R, ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).

o Για όλα τα x στο R, υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 \neq 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.

o Για όλα τα x στο R, υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.

o Για όλα τα x ≠ 0 στο R, υπάρχει ένα στοιχείο x−1 στο R, τέτοιο ώστε xx −1 = 1 = x −1 x.

* Το σώμα R είναι διατεταγμένο.

* Το διατεταγμένο σώμα R είναι πλήρες.

Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι ισομορφικά, κάτι που μας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχει μόνο ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο Q των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιά την αρχή της πληρότητας ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.

Μαθηματικά

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License

<@=@=@>