Γεωμετρία


Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.

Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών, και ο πρώτος που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση, από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι. Δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος "Ευκλείδεια γεωμετρία" όπου και γίνεται μεγαλύτερη ανάλυση του όρου.

Με τη γεωμετρία ήρθαν σε επαφή και οι αρχαίοι Έλληνες κυρίως με το Θαλή το Μιλήσιο. Με την πάροδο των ετών ανέπτυξαν των αποδεικτική γεωμετρία, η οποία κορυφώνεται στην Αλεξανδρινή εποχή. Η γεωμετρία έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων, οι οποίοι ανέπτυξαν μία γεωμετρικοποιημένη αριθμητική. Αργότερα, ο Πλάτωνας θεώρησε τις μαθηματικές, άρα και τις γεωμετρικές ιδέες, ως τον ιδανικό κόσμο. Μέχρι τον Αριστοτέλη αναπτύσσονταν κοσμολογίες με βάση απλά γεωμετρικά σχήματα, το οποίο κατά μία έννοια συμβαίνει και σήμερα στη σύγχρονη Φυσική. Ο Αριστοτέλης, όπως και οι Αλχημιστές αργότερα, πίστευαν ότι ο κόσμος αποτελείται από πέντε κανονικά γεωμετρικά στερεά, την ισοσκελής τριγωνική πυραμίδα, το τετράεδρο, τον κύβο, το κανονικό δωδεκάεδρο και το κανονικό εικοσάεδρο.

Η γεωμετρία είναι ο πρώτος κλάδος των μαθηματικών που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση, από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι. Δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος "Ευκλείδεια γεωμετρία" όπου και γίνεται μεγαλύτερη ανάλυση του όρου. Το πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, δηλαδή ότι θα πρέπει να δεχθούμε αξιωματικά ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, γιατί δε μπορούμε να το αποδείξουμε.

Η γεωμετρία έπαιζε σημαντικό ρόλο στο φιλοσοφικό σύστημα του Καντ, ο οποίος μιλούσε για καθαρή εποπτεία, η οποία ουσιαστικά ήταν γεωμετρικά σχήματα. Ειρωνικά, μέσω της γεωμετρίας δείχθηκαν εποπτικά τα σφάλματα αυτού του συστήματος. Έτσι, προέκυψαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν. Στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται περισσότερες ή καμιά παράλληλος αντίστοιχα.


Σύγχρονες αντιλήψεις της γεωμετρίας

Η σημερινή επιστήμη αποδέχεται την ευκλείδεια γεωμετρία θεωρώντας την ως τη πιο βασική και εφαρμόσιμη μορφή της. Επιπλέον, υπάρχουν και δύο προαναφερθείσες μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ονομάζονται και απόλυτες γεωμετρείες και μπορούν να απεικονιστούν στην ευκλείδεια, αλλά έχουν αναπτυχθεί και άλλες. Παράδειγμα μιας άλλης γεωμετρίας είναι ο τετραδιάστατος κατά τα άλλα ευκλείδειος χώρος.

Η μελέτη της γεωμετρίας γίνεται πλέον με συστήματα αναφοράς και με βάση την έννοια του διανύσματος. Με αυτόν τον τρόπο πολλές γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να αλγεβροποιηθούν, δηλαδή να γίνουν αριθμητικές σχέσεις και να μελετηθούν αλγεβρικά. Αυτή η μελέτη της γεωμετρίας είναι ξεχωριστός κλάδος των μαθηματικών και ονομάζεται αναλυτική γεωμετρία.

Η γεωμετρία είναι χρήσιμη σε άλλους κλάδους των μαθηματικών και επιστημών, όπως είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, η Άλγεβρα και η Φυσική.

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριων και αναλυτικής γεωμετρίας

Σε όλες σχεδόν τις γεωμετρίες ορίζονται αρχικά τρεις έννοιες το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Για να γίνουν αντιληπτές η σφαιρική και η υπερβολική γεωμετρία συνήθως προβάλλουμε ένα επίπεδό τους στον τρισδιάστατο ευκλείδιο χώρο, ενώ οι ιδιότητες της ευκλείδιας γεωμετρείας θεωρούνται γνωστές. Ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας χρησιμοποιούμε το κατάλληλο σύστημα αναφοράς, για να κατασκευάσουμε την αντίστοιχη αναλυτική γεωμετρία.

* Επίπεδο: Θεωρούμε ένα επίπεδο για την ευκλείδια, μία σφαίρα για τη σφαιρική και ένα σελοειδές σχήμα γαι την υπερβολική. Η παραγωγή του σελοειδούς διαφαίνεται στο σχήμα αριστερά. Όλα τα σχήματα της κάθε γεωμετρίας τα θεωρούμε για λόγους ευκολίας πάνω σε αυτές τις επιφάνειες. Η κάθε επιφάνεια είναι το επίπεδο της γεωμετρίας στην οποία αντιστοιχεί.

* Σημείο: Και για τις τρεις γεωμετρίες ένα σημείο πάνω στο επίπεδό τους θεωρείται σημείο της αντίστοιχης γεωμετρίας.

* Ευθεία: Η ευθεία της ευκλείδιας γεωμετρίας είναι ευθεία, στη σφαιρική είναι μέγιστος κύκλος της σφαίρας. Και στις τρεις γεωμετρίες από κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εκτός ευθείας. Στην ευκλείδια γεωμετρία από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, στη σφαιρική καμά παράλληλος, ενώ στην υπερβολική πολλοί παράλληλοι.

* σύστημα αναφοράς: Στην ευκλείδια γεωμετρία εφαρμόζεται συνήθως το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ στη σφαιρική το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.

Με βάση τα παραπάνω μπορούν να οριστούν στην κάθε γεωμετρία τα βασικά γεωμετρικά σχήματα όπως τα τρίγωνα και τα ευθύγραμμα τρίγωνα και να μελετηθούν οι ιδιότητές τους.

Μαθηματικά

Αλφαβητικός κατάλογος


Εισάγετε τους δικούς σας όρους αναζήτησης Αναζήτηση

 

Web

www.hellenica.de


Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License


www.hellenica.de