Μια διαφορική εξίσωση (differential equation ) είναι μια μαθηματική εξίσωση για μια άγνωστη συνάρτηση μιάς ή περισσοτέρων μεταβλητών που συσχετίζει τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της διαφόρων βαθμών. Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν προεξέχων ρόλο στη μηχανική, τη φυσική, τα οικονομικά και άλλους κλάδους.

Εισαγωγή

Οι διαφορικές εξισώσεις προκύπτουν σε πολλές περιοχές της επιστήμης και τεχνολογίας. Κάθε φορά που μία ντετερμινιστική σχέση περιέχει ποσότητες που αλλάζουν με συνεχή τρόπο (και περιγράφονται από συναρτήσεις), και ο ρυθμός της αλλαγής αυτής (που αποτελεί τις αντίστοιχες παραγώγους) είναι γνωστός ή μπορεί να βρεθεί. Αυτό γίνεται προφανές στην κλασσική μηχανική όπου η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από τη θέση και την ταχύτητά του στη μεταβολή του χρόνου. Οι Νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουν τη συσχέτιση της θέσης της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και των διάφορων δυνάμεων που επιδρούν στο σώμα, και ορίζουν τη σχέση αυτή ως μια διαφορική εξίσωση της άγνωστης θέσης του σώματος ως συνάρτησης του χρόνου. Σε πολλές περιπτώσεις, η διαφορική αυτή εξίσωση μπορεί να επιλυθεί, δίνοντας το νόμο της κίνησης.

Οι διαφορικές εξισώσεις μελετώνται μαθηματικά με πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις, που συνήθως ασχολούνται με τις λύσεις τους, συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση. Μόνο οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις δέχονται λύσεις που δίνονται από αναλυτικούς τύπους. Πολλές ιδιότητες των λύσεων μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης μπορούν να προσδιορισθούν χωρίς να βρεθεί η ακριβής τους μορφή. Αν δεν είναι διαθέσιμος κάποιος αυτοτελής τύπος που να δίνει τη λύση, τότε αυτή μπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με υπολογιστή. Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων δίνει έμφαση στην ποιοτική ανάλυση συστημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις, ενώ πολλές αριθμητικές μεθόδοι έχουν αναπτυχθεί για τον υπολογισμό λύσεων με κάποιο δεδομένο βαθμό ακρίβειας.

Κατευθύνσεις μελέτης

Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων αποτελεί ευρές πεδίο τόσο στα αμιγή μαθηματικά και εφαρμοσμένα μαθηματικά. Τα αμιγή μαθηματικά μελετούν τους διάφορους τύπους και τις ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων, για παράδειγμα αν μια εξίσωση έχει λύση, και όταν έχει αν αυτή είναι μοναδική. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά δίνουν έμφαση στις διαφορικές εξισώσης από την πλευρά των εφαρμογών τους, και εκτός από την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης, ενδιαφέρονται ακόμα για διεξοδικές μεθόδους προσέγγισης των λύσεων. Οι φυσικοί και οι μηχανικοί συνήθως ενδιαφέρονται περισσότερο για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων για διαφορικές εξισώσεις και λιγότερο για εξηγήσεις του αν οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικές λύσεις. Οι λύσεις αυτές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για να προσομοιώσουν την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, την προσομοίωση νευρώνων, το σχεδιασμό γεφυρών, αυτοκινήτων, αεροπλάνων, υδραυλικών συστημάτων, κλπ. Συνήθως οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν στους τομείς των εφαρμογών δεν έχουν λύσεις κλειστής μορφής και λύνονται με αριθμητικές μεθόδους που δουλεύουν αρκετά καλά για το δεδομένο πρόβλημα.

Τα μαθηματικά μελετούν ακόμα τις ασθενείς λύσεις, ένα είδος λύσης που δεν απαιτείται να παραγωγίζονται παντού. Αυτή η επέκταση είναι συχνά απαραίτητη για την ύπαρξη λύσεων, και προέρχεται από φυσικά λογικές ιδιότητες των λύσεων, όπως για παράδειγμα η πιθανή ύπαρξη κραδασμών σε εξισώσεις υπερβολικής μορφής.

Η μελέτη της σταθερότητας των λύσεων διαφορικών εξισώσεων λέγεται θεωρία σταθερότητας.

Είδη διαφορικών εξισώσεων

* Συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.

* Μερική διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση πολλαπλών ανεξάρτητων μεταβλητών και των μερικών παραγώγων τους.

* Υστερημένη διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία η παράγωγος της άγνωστης συνάρτσης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή δίδεται σε σχέση με τιμές της συνάρτησης σε προηγούμενες στιγμές.

* Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία ένας ή περισσότεροι όροι είναι στοχαστικές διαδικασίες, που σημαίνει ότι η λύση είναι και η ίδια στοχαστική διαδικασία.

* Διαφορική αλγεβρική εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς και αλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.

Κάθε μια από αυτές τις κατηγορίες διαιρείται σε γραμμικές και μη γραμμικές υποκατηγορίες. Μια διαφορική εξίσωση λέγεται γραμμική όταν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της εμφανίζονται στη δύναμη 1 και δεν υπάρχουν γινόμενα ή συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Διαφορετικά η διαφορική εξίσωση λέγεται μη γραμμική. Έτσι, αν το u' είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης u, τότε η εξίσωση

u' = u

είναι γραμμική ενώ η εξίσωση

u' = u²

είναι μη γραμμική. Λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση ή η παράγωγός (ή παράγωγοί) της εμφανίζονται σε κάθε όρο (γραμμικές ομογενείς εξισώσεις) μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σταθερά δίνοντας επιπλέον λύσεις της εξίσωσης, αλλά δεν υπάρχει γενικός τρόπος να βρεθούν οικογένειες λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, εκτός όταν εκδηλώνουν συμμετρίες (Βλ. συμμετρίες). Γραμμικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις, και οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο κάτω από περιορισμένες συνθήκες.

Άλλο ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της, ο οποίος είναι ο βαθμός της μεγαλύτερης παραγώγου (μιας εξαρτημένης μεταβλητής) που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα, μια διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους, όπως στα δύο παραπάνω παραδείγματα.

Σχέση με τις εξισώσεις διαφορών

Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων συσχετίζεται με τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, στις οποίες οι μεταβλητές παίρνουν μόνο διακριτές τιμές, και η σχέση περιέχει τιμές της άγνωστης συνάρτησης ή συναρτήσεις και τιμές σε παραπλήσιες συντεταγμένες. Πολλές μέθοδοι για τον υπολογισμό αριθμητικών λύσεων διαφορικών εξισώσεων ή τη μελέτη ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων περιέχουν προσέγγιση της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης από τη λύση μιας αντίστοιχης εξίσωσης διαφορών.

Καθολικότητα της μαθηματικής περιγραφής

Μεγάλος αριθμός θεμελιωδών νόμων της φυσικής και της χημείας μπορούν να εκφραστούν ως διαφορικές εξισώσεις. Στη βιολογία και τα οικονομικά χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων αναπτύχθηκε αρχικά μαζί με τις επιστήμες στις οποίες προκύπτουν οι εξισώσεις και στις οποίες χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα. Παρ'όλα αυτά, διάφορα προβλήματα, πολλές φορές από αρκετά διαφορετικούς τομείς, μπορεί να ανάγονται σε ταυτόσημες διαφορικές εξισώσεις. Όταν συμβαίνει αυτό, η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων εκλαμβάνεται ως η αρχή που ενοποιεί τα ποικίλα αυτά φαινόμενα. Για παράδειγμα, θεωρήστε την διάδοση του φωτός και του ήχου στην ατμόσφαιρα, και τη διάδοση των κυμάτων στην επιφάνεια μιας λίμνης. Όλα μπορούν να περιγραφούν από την ίδια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την κυματική εξίσωση, που επιτρέπει την αντιμετώπιση του φωτός και του ήχου σαν κύματα, όπως τα κοινά κύματα στην επιφάνεια του νερού. Η μετάδοση της θερμότητας, της οποίας τη θεωρία ανέπτυξε ο Τζόσεφ Φουριέ, κυβερνάται από μια διαφορετική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την εξίσωση θερμότητας. Προέκυψε ότι πολλές διεργασίες διάχυσης, φαινομενικά διαφορετικές, περιγράφονται τελικά από την ίδια εξίσωση. Η εξίσωση Μπλάκ-Σόλ στα χρηματοοικονομικά για παράδειγμα, σχετίζεται με την εξίσωση διάδοσης της θερμότητας.

Διάσημες διαφορικές εξισώσεις

* Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα in δυναμική (μηχανική)
* Οι εξισώσεις Χάμιλτον στην κλασσική μηχανική
* Η ραδιενεργή φθορά στην πυρηνική φυσική
* Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα στη θερμοδυναμική
* Η κυματική εξίσωση
* Οι εξισώσεις του Μαξουελ στον ηλεκτρομαγνητισμό
* Η εξίσωση θερμότητας στη θερμοδυναμική
* Η εξίσωση Λαπλάς, η οποία ορίζει αρμονικές συναρτήσεις
* Η εξίσωση Πουαζόν
* Η εξίσωση πεδίων του Αϊνστάιν στη γενική σχετικότητα
* Η εξίσωση Σρέντιγκερ στην κβαντομηχανική
* Η εξίσωση γεωδεσίας
* Η εξίσωση Ναβίερ-Στόουκς στη δυναμική υγρών
* Η εξίσωση Λότκα-Βολτέρρα στη δυναμική πλυθισμού
* Η εξίσωση Μπλάκ-Σολ στα χρηματοοικονομικά
* Οι εξισώσεις Κοσύ-Ρίμαν στη μιγαδική ανάλυση
* Οι εξισώσεις ρηχού νερού

Μαθηματικά

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License

<@=@=@>