Ακολουθία Goodstein
|
Ανάπτυξη ενός αριθμού n σε υπερβάση p Π.χ. n = 266 p =2, 266 = 28 + 23+ 21 = 2a + 23+ 21 , a = 22+1 Ορίζουμε μια διαδικασία "φούσκωμα" fp(n) ενός αριθμού n στην υπερβάση p την αντικατάσταση του p με τον αριθμό p+1 Π.χ. f2(266) = 381+84 > 4*1038 Για κάθε ακέραιο αριθμό n ορίζουμε την Ακολουθία Goodstein g ως εξής g1(n) = n gp(n) = fp(gp-1(n))-1 Π.χ. n=256 g1(256) = n, g2(256) = 381+84 -1, g3(256) > 10616,... Ο Reuben Goodstein απόδειξε οτι: Για κάθε φυσικό αριθμό n η Goodstein ακολουθία μηδενίζεται, παρόλο που αυξάνει με τρομάκτικο ρυθμό τελικά καταλήγει στο 0, και μόνο επειδή αφαιρείται ο αριθμός 1 κάθε φορά, έστω και αν φαινομενικά είναι ασήμαντος σε σύγκριση με το fp(gp-1(n)). Ο αριθμός των βημάτων για το μηδενισμό είναι τρομακτικά μεγάλος, π.χ περίπου 10 στην 109 βήματα για n=5 Goodstein, R., On the restricted ordinal theorem, Journal of Symbolic Logic, 9 (1944), 33-41.
Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License |
<@=@=@> | ||
|
|