Όριο ακολουθίας

Αν είναι μία πραγματική ακολουθία και a ένας πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι ο αριθμός a είναι όριο της ακολουθίας ή ακόμα ότι η ακολουθία έχει όριο τον αριθμό aν αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό ε > 0 η ακολουθία έχει τελικά την ιδιότητα:

, ή ισοδύναμα ή ισοδύναμα,

και το συμβολίζουμε με:

ή με ή ακόμα με

Αν είναι μία πραγματική ακολουθία τότε λέμε ότι το είναι όριο της ακολουθίας ή ακόμα ότι η ακολουθία έχει όριο το αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ > 0 η ακολουθία έχει τελικά την ιδιότητα:

, ή ισοδύναμα

και το συμβολίζουμε με:

ή με ή ακόμα με

Αν είναι μία πραγματική ακολουθία τότε λέμε ότι το -\infty είναι όριο της ακολουθίας ή ακόμα ότι η ακολουθία έχει όριο το αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ > 0 η ακολουθία έχει τελικά την ιδιότητα:

, ή ισοδύναμα

και το συμβολίζουμε με:

ή με ή ακόμα με

Αν μία ακολουθία έχει όριο και το όριο αυτό είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η ακολουθία συγκλίνει και την ονομάζουμε συγκλίνουσα. Αν μια ακολουθία έχει όριο το ή το τότε λέμε ότι αποκλίνει και την ονομάζουμε αποκλίνουσα.

Στη γενική περίπτωση ένος μετρικού χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του \R, ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.

* Δείτε ακόμα: Ακολουθία Cauchy

Όριο συνάρτησης

Γενικότερα για μία συνάρτηση η έννοια του ορίου μπορεί να οριστεί με βάση το όριο ακολουθίας. Δηλαδή, μία συνάρτηση f(x) έχει όριο το σημείο α, του x τείνοντος στο σημείο c, αν για οποιαδήποτε ακολουθία xν που έχει όριο το c, η ακολουθία f(xν) έχει όριο το α. Συμβολικά:

ακολουθία με ισχύει .

O κλασσικός ορισμός του ορίου πραγματικής συνάρτησης είναι ο εξής: To όριο της f(x) όταν το x τείνει στο c ειναι ίσο με α, ανν για κάθε ε θετικό υπάρχει δ θετικό, τέτοιο ώστε αν το x έχει απόσταση από το c μικρότερη του δ, τότε να συνεπάγεται ότι η απόσταση του f(x) από το α είναι μικρότερη του ε. Αν δηλαδή το x ανήκει σε μια περιοχή του c, τότε το f(x) ανήκει σε μια περιοχή του α και αυτό ισχύει όσοδηποτε μικρή και αν είναι η περιοχή του α που θα διαλέξουμε. Συμβολικά:

τέτοιο ώστε: .

Στη γενική περίπτωση συνάρτησης μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεται ως εξής:

τέτοιο ώστε: